8月末でパートを辞め、これから失業保険の手続きをします。退職後すぐに手続きをしたとしても実際に手当を受け取るのは約4か月半以降となります。

失業保険は退職して何ヶ月以内に手続きしないといけないという期間はありますか？詳しい方教えてくださいm(._.)m

原則、退職した翌日から1年以内に「受給を完了」する必要があるので、給付日数＋給付制限の日数を計算し逆算してください。

例）
自己都合退職で180日受給期間のある人なら、3ヵ月以内に手続きをしないと、全て受給は出来なくなります。

あまりにも無知ですみません。8月末でパートを辞め、これから失業保険の手続きをします。失業保険を頂いている間は仕事に就けないのでしょうか？
教えてください。よろしくお願い致します。

失業保険は会社から離職票１と離職票２をもらいましたか？でしたら住まいを管轄している地域の職安に写真や通帳（印鑑）等をもって手続きにいきます。失業保険をもらっている間は、短時間のアルバイト週２から３で3時間以内？だったと思いますが、それならば可能です。ですが、基本的に１年以上雇用の見込みがある時は、場合によっては再就職手当がもらえることになりますよ。なので仕事に就けないわけではないですが、一度住まいの近くにある職安に相談されにいってみてください。
基本的に1年以上雇用見込みがあったり、就職できたというとき以降は失業保険は終了となります。また、失業保険の趣旨は働きたいのに働けない人（病気ではなくて、働く場所のない人のことをいいます）に支給されるものですので・・・その点を理解の上、就職活動がんばってくださいね。

回答宜しく御願い致します

９月に現在の会社を辞めて新たに職を探そうと思っています。
求職活動をしながら保育園に現在預けている子供たちは在園は可能でしょうか？
条件は以下の通りです

９月に依願退職予定
次職のの宛も無いので失業保険を受けながら求職活動予定
公立の保育園に現在子供２人在園中
家内はパートで働いている

ポイントは失業保険を受給できる立場のものが
保育園に預け続けられるかです。

もし退園とされるならば子供を連れて求職しなければなりません。

どうかご回答宜しく御願い致します

求職活動中の保育園については地域ごとに決まっています。多いのが３か月以内なら継続できるなどです（期間はさまざまです）
失業保険が受給できるかどうかはあなた自身が雇用保険に１年以上加入している。退職日から過去２年以内に１１日以上出勤した月が１２か月以上あるなどの条件をクリアしていれば大丈夫です。
ただし自己都合退職なので、給付制限が３か月付きます。退職後すぐに手続きをしたとしても実際に手当を受け取るのは約4か月半以降となります。

捕捉について：育児休業中は保育はできないといわれる場合が多いです。求職中の場合とはまた異なります。いずれにせよ、園で相談してください。