体調不良による契約更新なしは会社都合？
体調不良（精神的なものも含む）によるほぼ二ヶ月間休みました。
契約社員なので当然次の更新はありませんでした。
この場合は会社都合になり失業保険はすぐに支払いになりますか？

それとも会社都合ではない3ヶ月の給付制限が付くものになってしまいますか？

あなたは体調が悪いので自分から契約は自ら遠慮しますと言ったのか、それとも体調がよくなっていて働くことができる状態であって、更新できる可能性があったのに会社から断られたのか。
3年未満の契約社員は期間満了で自ら辞めた場合は自己都合退職になりますが給付制限3ヶ月はありません。
後者の場合は「特定理由離職者」です。
また、更新の約束があって更新できなかった場合は「特定受給資格者」（会社都合）になります。
ですからいずれにしても給付制限はないと言うことになります。

半年くらい保険をかけています｡もし来月やめるとすれば失業保険をもらえますか?会社からの腰痛と認めてもらえなければ自己都合の退社になりすぐに失業保険はもらえませんか
?

その半年加入がが唯一の雇用保険であって過去に加入がないと仮定すると、６か月では会社都合でなければ支給されません。
自己都合なら過去２年以内に１２か月以上の被保険者期間が必要です。
今の会社に入る前１年以内にどこかの会社で雇用保険加入していたのであればその期間も通算できますから話は違ってきます。

一度ハローワークに行って、失業保険の手続きをすると失業中に旅行や帰省はできませんか？

会社都合で退職の場合、退職してからの長期に渡る旅行等で家をあけると「働く意思がないから失業手当あげません」ということになるのでしょうか？

たてまえとしてはそうなのかもしれません。
その職安によって内容がちょっと違うらしいですが、ちゃんと就職活動とみなされることをして認定日に行けば大丈夫ですよ。
認定日に行くことができないような旅行はまずいと思いますけど

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